量化交易的数学基础：从对数收益率到线性回归

量化交易的文章里总会冒出一些数学术语：对数收益率、标准差、协方差矩阵、OLS 回归、偏导数。逐个去查定义当然可以，但缺少量化交易的语境，查完还是不知道"这个数学工具到底在干嘛"。下面把量化交易中最常用的数学概念集中过一遍，每个配一个交易场景和 Python 代码。

对数收益率

股票从 100 涨到 110，收益率怎么算？

最直观的算法是简单收益率（simple return）：\((110 - 100) / 100 = 10\%\)。但量化交易里几乎都用对数收益率（log return）：\(\ln(110 / 100) = 9.53\%\)。

公式对比：

为什么量化偏爱 log return？三个原因。

可加性。简单收益率不能直接加。一只股票先涨 10% 再跌 10%，简单收益率加起来是 0%，但实际你亏了 1%（100 → 110 → 99）。对数收益率可以直接加：多期的对数收益率之和 = 整段时间的对数收益率。这在计算累计收益、滚动窗口指标时省掉很多麻烦。

对称性。简单收益率里，涨 50%（100→150）和跌 33.3%（150→100）是"对称"的操作，但数字不对称。对数收益率里，涨是 +40.5%，跌是 -40.5%，完美对称。

小变动时近似相等。日收益率通常在 ±2% 以内，这个范围里两种收益率几乎一样（差不到 0.02 个百分点）。换句话说，日常使用没区别，但在数学性质上 log return 好用得多。

import numpy as np

prices = np.array([100, 110, 104.5, 120, 96])
simple_ret = np.diff(prices) / prices[:-1]
log_ret = np.log(prices[1:] / prices[:-1])

for i in range(len(simple_ret)):
    print(f"Day {i+1}: simple={simple_ret[i]*100:+.2f}%  "
          f"log={log_ret[i]*100:+.2f}%")

print(f"\nSum of simple returns: {simple_ret.sum()*100:.2f}%")
print(f"Sum of log returns:    {log_ret.sum()*100:.2f}%")
print(f"Actual total return:   {(prices[-1]/prices[0]-1)*100:.2f}%")
print(f"exp(sum of log ret):   {(np.exp(log_ret.sum())-1)*100:.2f}%")

Day 1: simple=+10.00%  log=+9.53%
Day 2: simple=-5.00%   log=-5.13%
Day 3: simple=+14.83%  log=+13.83%
Day 4: simple=-20.00%  log=-22.31%

Sum of simple returns: -0.17%
Sum of log returns:    -4.08%
Actual total return:   -4.00%
exp(sum of log ret):   -4.00%

简单收益率加起来是 -0.17%，但股票实际跌了 4%。对数收益率加起来是 -4.08%，转换回来（exp）正好是 -4.00%。这就是可加性的实际价值。

注意：波动越大，两种收益率差距越大。Day 4 跌了 20%，简单收益率是 -20%，对数收益率是 -22.31%，差了 2.31 个百分点。加密货币市场日波动经常超过 10%，这个差距更明显。

均值、方差和标准差

均值（mean） 衡量"平均赚多少"，标准差（standard deviation） 衡量"赚得稳不稳"。量化交易里，收益和风险就是用这两个数字定义的。

均值和标准差的公式：

夏普比率（Sharpe Ratio） 是均值和标准差最经典的组合：

分子是超额收益（减去无风险利率），分母是波动率。直觉上就是"每承担一单位风险，赚了多少超额收益"。夏普 1.0 算不错，2.0 以上很优秀，低于 0.5 基本不值得承担那个波动。

年化是一个经常搞混的细节。日收益率的均值乘 252（交易日数）得到年化收益率，日标准差乘 \(\sqrt{252}\) 得到年化波动率。为什么标准差是乘根号而不是直接乘？因为独立随机变量的方差是可加的（\(\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2)\)），所以 252 天的方差 = 单日方差 × 252，标准差就是乘 \(\sqrt{252}\)。

import numpy as np

np.random.seed(42)
daily_returns = np.random.normal(0.0004, 0.015, 252)

mean_daily = daily_returns.mean()
std_daily = daily_returns.std(ddof=1)  # ddof=1: sample std
rf_daily = 0.04 / 252  # 4% annual risk-free rate

sharpe = (mean_daily - rf_daily) / std_daily * np.sqrt(252)
annual_return = mean_daily * 252
annual_vol = std_daily * np.sqrt(252)

print(f"Annual return:     {annual_return*100:.2f}%")
print(f"Annual volatility: {annual_vol*100:.2f}%")
print(f"Sharpe ratio:      {sharpe:.2f}")

Annual return:     8.66%
Annual volatility: 23.03%
Sharpe ratio:      0.20

年化收益 8.66%，波动率 23.03%，夏普只有 0.20。这意味着收益几乎全被波动吃掉了，风险调整后的回报很低。

正态分布与肥尾

正态分布（Normal Distribution） 是量化交易里最常用的假设。它的概率密度函数：

正态分布有一个好记的经验法则：68% 的数据落在 \(\mu \pm 1\sigma\) 内，95% 落在 \(\mu \pm 2\sigma\)，99.7% 落在 \(\mu \pm 3\sigma\)。换句话说，超过 3σ 的极端事件在正态分布下概率只有 0.3%，大约一年才发生一次。

问题是，股票收益率不是严格正态的。

真实的收益率分布比正态分布有更厚的尾巴，统计学上叫肥尾（fat tails） 或尖峰厚尾（leptokurtic）。3σ 以外的极端事件实际发生的频率远高于正态分布的预测。用模拟数据做个对比：正态分布预测 5000 个交易日里只有 14 次超过 3σ 的事件，但有肥尾特征的收益率分布里，这个数字可以到 60-80 次，是正态预测的 4-5 倍。

这和风险管理直接相关。VaR（Value at Risk） 是最常用的风控指标之一，很多 VaR 计算假设收益率服从正态分布。如果实际分布有肥尾，正态 VaR 就会严重低估极端亏损的概率。2008 年次贷危机中很多量化基金爆仓，一个核心原因就是模型假设了正态分布，而市场给出了"不可能发生"的 6σ 甚至 10σ 事件。2020 年 3 月也是一个例子：标普 500 一周之内多次出现超过 4σ 的单日波动。

图中蓝色是模拟的有肥尾特征的收益率分布，红色线是用相同均值和标准差拟合的正态分布。尾部明显超出正态预测：3σ 之外的实际事件数量是正态预测的好几倍。

协方差与相关系数

单只股票用均值和标准差就够了。两只以上的股票放在一起，就需要协方差（covariance） 来描述它们之间的关系。

协方差为正，说明两只股票倾向于同涨同跌；为负，说明一只涨的时候另一只倾向于跌。但协方差的数值大小不直观（和收益率的量级有关），所以通常用相关系数（correlation） 来标准化：

\(\rho = 1\) 完全正相关，\(\rho = -1\) 完全负相关，\(\rho = 0\) 不相关。

把 N 个资产两两之间的协方差排成一个 \(N \times N\) 的矩阵，就是协方差矩阵 \(\Sigma\)。这个矩阵在量化交易里到处都在用：配对交易用相关系数找联动股票，投资组合优化用协方差矩阵计算组合风险，因子模型用协方差结构分析因子之间的关系。

投资组合方差的公式用矩阵写很紧凑，但先看一个两个资产的例子更直观。假设你 60% 仓位在股票 A（年化波动率 20%），40% 在股票 B（年化波动率 15%），两者相关系数 0.3。组合方差：

组合波动率 \(\sigma_p = \sqrt{0.02232} = 14.94\%\)。如果两者完全正相关（\(\rho = 1\)），组合波动率是 18%（加权平均）。相关系数 0.3 让波动率从 18% 降到了 14.94%，这就是分散投资的数学本质。不过有个坑：相关系数在市场平稳时看着很稳定，一到暴跌行情就集体飙向 1.0。2020 年 3 月美股熔断那几天，股票、商品、信用债的相关性全部拉满，分散投资在最需要它的时候失效了。用历史相关系数做组合优化时，这一点要记住。

推广到 N 个资产，公式写成矩阵形式：

其中 \(\mathbf{w}\) 是各资产的权重向量，\(\Sigma\) 是协方差矩阵。

import numpy as np

np.random.seed(2024)
n = 252

stock_a = np.random.normal(0.0005, 0.02, n)
stock_b = 0.6 * stock_a + np.random.normal(0.0002, 0.015, n)
stock_c = -0.3 * stock_a + np.random.normal(0.0003, 0.018, n)

returns = np.column_stack([stock_a, stock_b, stock_c])
cov_matrix = np.cov(returns.T)
corr_matrix = np.corrcoef(returns.T)

labels = ['Stock A', 'Stock B', 'Stock C']
print("=== Correlation Matrix ===")
for i, label in enumerate(labels):
    row = '  '.join(f'{corr_matrix[i,j]:+.4f}' for j in range(3))
    print(f"  {label}: {row}")

=== Correlation Matrix ===
  Stock A: +1.0000  +0.5393  -0.4396
  Stock B: +0.5393  +1.0000  -0.1537
  Stock C: -0.4396  -0.1537  +1.0000

Stock A 和 B 相关系数 +0.54（中等正相关，同涨同跌为主），A 和 C 相关系数 -0.44（负相关，走势相反）。如果你的组合里只有 A 和 B，风险分散效果有限；加入 C 这种负相关资产，组合波动率能降不少。

线性回归 OLS

OLS（Ordinary Least Squares，最小二乘法） 是量化交易里用得最多的统计工具。核心思想很简单：给定一堆数据点，找一条直线让所有数据点到直线的"距离"（残差的平方和）最小。

对于 \(y = \alpha + \beta x + \varepsilon\)，OLS 的解是：

多变量的矩阵形式：

量化里 OLS 最常见的两个场景：

因子回归。Fama-French 因子模型就是用 OLS 把基金收益拆解成市场、规模、价值等因子的贡献。回归出来的 \(\alpha\) 代表因子解释不了的超额收益，\(\beta\) 代表对各因子的暴露程度。

配对交易。两只相关股票 A 和 B，用 OLS 回归 \(A = \alpha + \beta B + \varepsilon\)，残差 \(\varepsilon\) 就是价差。价差偏离均值太远就做均值回归交易。

import numpy as np

np.random.seed(42)
n = 120  # 10 years monthly
market = np.random.normal(0.008, 0.045, n)
fund = 0.002 + 1.15 * market + np.random.normal(0, 0.015, n)

X = np.column_stack([np.ones(n), market])
beta, _, _, _ = np.linalg.lstsq(X, fund, rcond=None)

pred = X @ beta
ss_res = np.sum((fund - pred) ** 2)
ss_tot = np.sum((fund - fund.mean()) ** 2)
r2 = 1 - ss_res / ss_tot

mse = ss_res / (n - 2)
se = np.sqrt(np.diag(mse * np.linalg.inv(X.T @ X)))
t_stats = beta / se

print(f"Alpha: {beta[0]*100:.3f}% /month  (t={t_stats[0]:.2f})")
print(f"Beta:  {beta[1]:.3f}           (t={t_stats[1]:.2f})")
print(f"R²:    {r2:.4f}")

Alpha: 0.296% /month  (t=2.12)
Beta:  1.186           (t=35.50)
R²:    0.9144

Beta 1.186 说明这只基金比大盘波动更大（市场涨 1%，基金平均涨 1.19%）。Alpha 0.296%/月，t 值 2.12，在 5% 显著性水平下勉强显著，说明有一定的超额收益但不算很确定。R² 0.91 说明市场因子解释了 91% 的基金收益变动。

两个常见误区。R² 高不代表预测准。R² = 0.91 看着很高，但这只说明"过去拟合得好"，不保证未来。很多过拟合的模型 R² 接近 1.0，样本外照样崩。相关不代表因果。两只股票高度相关可能是因为它们都受同一个行业因子驱动，直接用一只预测另一只是危险的。

导数和偏导数

导数（derivative） 衡量的是函数的变化率。\(f'(x)\) 告诉你"x 变一点点，f(x) 变多少"。

期权的价格受多个变量影响：标的价格 \(S\)、到期时间 \(t\)、波动率 \(\sigma\)、利率 \(r\)。偏导数（partial derivative） 就是固定其他变量不动，只看一个变量变化对期权价格的影响。

期权交易者天天盯着的 Greeks 就是偏导数：

\(\Delta = 0.6\) 的意思是：标的价格涨 $1，期权价格大约涨 $0.60。\(\Theta = -0.05\) 的意思是：每过一天，期权价格大约跌 $0.05（时间损耗）。Vega = 0.15 的意思是：隐含波动率涨 1 个百分点，期权价格大约涨 $0.15。

不需要手推 Black-Scholes 公式来理解 Greeks。核心直觉就一句话：Greeks 量化了期权价格对各个输入变量的敏感度。交易者用 Delta 决定对冲多少股票，用 Theta 评估时间衰减成本，用 Vega 判断波动率变化的风险。具体的 Greeks 计算和应用，可以看期权 Greeks 系列。

如果你想用代码验证，最简单的方法是有限差分（finite difference）：把标的价格加一点点（比如 $0.01），算两次期权价格，取差值除以步长，就得到 Delta 的数值近似。这和偏导数的定义 \(\frac{\partial V}{\partial S} \approx \frac{V(S+h) - V(S-h)}{2h}\) 完全一致。

数学概念速查表

概率统计处理的是"这个策略的收益和风险是什么"，线性回归回答"收益从哪来"，偏导数告诉你"参数变了会怎样"。量化交易的数学不需要从头学一遍大学课程，搞清楚这张表里的概念，读公式就不会卡住了。