凯利公式与仓位管理：从数学公式到量化实战

同一个策略，仓位 10% 和仓位 50%，长期下来可以是稳定盈利和账户归零的区别。选股、择时、因子设计都是在回答"买什么"，仓位管理回答的是"买多少"。凯利公式（Kelly Criterion）是这个问题的数学最优解。

经典凯利公式

凯利公式起源于 1956 年贝尔实验室的 John Kelly。原始场景是一个简单的二元赌博：每局胜率 \(p\)，败率 \(q = 1-p\)，赔率 \(b\)（赢了拿回本金加上 \(b\) 倍本金，输了赔光下注金额）。你手里有固定本金，每局押多大比例？

凯利的答案：

其中 \(f^*\) 是最优下注比例（占总资金的百分比）。

数值例子：胜率 55%，赔率 1:1（\(b=1\)）。

最优下注比例是 10%。直觉上合理：你有微弱优势，但不应该重仓。

凯利最大化的不是单局期望收益，而是对数资金增长率。对数增长率是几何增长的核心指标。算术期望可以很高，但如果某一局亏光了，几何增长率直接变成负无穷。凯利公式找的是让 \(E[\ln(W)]\) 最大的 \(f\)，其中 \(W\) 是每局后的财富。

推导过程：每局后资金为 \(W_{n+1} = W_n(1 + f \cdot X)\)，\(X\) 取 \(+b\)（概率 \(p\)）或 \(-1\)（概率 \(q\)）。对数增长率的期望：

对 \(f\) 求导令其为零，解出来就是上面的公式。

凯利公式有一个重要性质：\(f^*\) 只有在期望值为正时才大于零。如果 \(bp < q\)（负期望），公式给出负值，意味着不应该下注（或者反向下注）。这和直觉一致：没有优势就不玩。

连续情况：收益率分布的凯利

实际交易中收益不是"要么赚 b 要么赔光"这么简单。标的的收益率是连续分布的。假设策略的对数收益率近似正态分布，均值 \(\mu\)，标准差 \(\sigma\)，无风险利率 \(r\)。连续版本的凯利公式：

这个公式的直觉：\(\mu - r\) 是超额收益（你的优势），\(\sigma^2\) 是风险（方差）。优势越大仓位越高，风险越大仓位越低。

和夏普比率的关系很直接。夏普比率 \(SR = \frac{\mu - r}{\sigma}\)，所以：

夏普比率 1.0、年化波动率 20% 的策略，凯利最优杠杆是 \(1.0 / 0.20 = 5\) 倍。夏普 0.5、波动率 30% 的策略，凯利杠杆是 \(0.5 / 0.30 \approx 1.67\) 倍。

这揭示了一个重要的现实：很多量化策略的凯利最优杠杆远高于直觉。一个年化收益 15%、波动率 10% 的策略（\(\mu - r = 0.10\)，假设 \(r = 5\%\)），凯利杠杆是 \(0.10 / 0.01 = 10\) 倍。用 10 倍杠杆跑，理论上长期增长最快，但过程会非常痛苦。

分数凯利：实操的关键

直接使用公式算出的 \(f^*\) 做仓位叫全凯利（Full Kelly）。上一节的例子里，\(f^* = 2.5\) 就意味着全凯利要求你用 2.5 倍杠杆。全凯利是理论增长率最大化的点，但实操中问题很大：

1. 回撤太深。全凯利的理论最大回撤可以接近 100%。模拟 1000 次赌局，全凯利在中途经常出现 50-80% 的回撤。
2. 参数估计误差被放大。你用历史数据估算 \(\mu\) 和 \(\sigma\)，但这些只是估计值。如果真实 \(\mu\) 比你估计的低，全凯利就变成了 over-bet，后果是灾难性的。Over-bet 比 under-bet 危险得多：under-bet 只是增长慢一些，over-bet 的长期增长率是负的。

所以实操中几乎所有人用分数凯利（Fractional Kelly）：不直接用 \(f^*\)，而是乘一个小于 1 的系数。\(f^*/2\) 叫半凯利（Half Kelly），\(f^*/3\) 叫三分之一凯利。如果全凯利是 2.5 倍杠杆，半凯利就是 1.25 倍，三分之一凯利就是 0.83 倍。

半凯利的性质很好：

• 期望增长率是全凯利的 75%（只牺牲了 25% 的增长速度）
• 最大回撤大约减半
• 对参数估计误差更鲁棒

下面用 Python 模拟对比全凯利、半凯利、固定仓位的净值曲线：

import numpy as np

def simulate_kelly(mu, sigma, r, fraction, n_days=1000, n_sims=500):
    """
    模拟不同凯利分数下的净值路径
    mu: 策略年化收益率
    sigma: 策略年化波动率
    fraction: 凯利分数 (1.0=全凯利, 0.5=半凯利)
    """
    dt = 1 / 252  # 日频
    kelly_full = (mu - r) / sigma**2
    f = kelly_full * fraction
    
    daily_mu = mu * dt
    daily_sigma = sigma * np.sqrt(dt)
    
    np.random.seed(42)
    returns = np.random.normal(daily_mu, daily_sigma, (n_sims, n_days))
    
    # 每日按凯利比例配置，剩余放无风险
    wealth = np.ones((n_sims, n_days + 1))
    for t in range(n_days):
        portfolio_return = f * returns[:, t] + (1 - f) * r * dt
        wealth[:, t + 1] = wealth[:, t] * (1 + portfolio_return)
    
    return wealth

mu, sigma, r = 0.15, 0.20, 0.05

wealth_full = simulate_kelly(mu, sigma, r, fraction=1.0)
wealth_half = simulate_kelly(mu, sigma, r, fraction=0.5)
wealth_fixed = simulate_kelly(mu, sigma, r, fraction=0.3)  # 固定30%仓位

# 统计
for name, w in [("全凯利", wealth_full), ("半凯利", wealth_half), ("固定30%", wealth_fixed)]:
    final = w[:, -1]
    median_return = np.median(final)
    max_dd = np.min(w / np.maximum.accumulate(w, axis=1), axis=1)
    avg_max_dd = np.mean(1 - max_dd)
    print(f"{name}: 中位终值={median_return:.2f}, 平均最大回撤={avg_max_dd:.1%}")

参数设定：年化收益 \(\mu=15\%\)，波动率 \(\sigma=20\%\)，无风险利率 \(r=5\%\)。先算全凯利最优杠杆：\(f^* = (0.15 - 0.05) / 0.20^2 = 2.5\)，意味着公式建议你把资金的 250% 投入策略（即 2.5 倍杠杆）。全凯利（fraction=1.0）就是直接用这个 2.5 倍；半凯利（fraction=0.5）取一半，即 1.25 倍；固定 30% 是不管公式怎么算，始终只投入 30% 资金。500 条路径，每条 1000 个交易日（约 4 年）。运行结果：

结论很清晰：全凯利 2.5 倍杠杆下中位终值最高（1.88 vs 1.72），但代价是 60% 的平均最大回撤，95 分位更是达到 82%。半凯利只用 1.25 倍杠杆，终值只低了 8%，回撤几乎减半。固定 30% 仓位最保守，回撤只有 21%，适合风险承受力低的策略。注意均值终值（3.13）远高于中位数（1.88），说明全凯利的分布是严重右偏的：少数路径暴赚拉高了均值，但大多数路径的表现不如均值暗示的那么好。

多资产凯利

单资产凯利只需要一个比率。多资产的情况需要协方差矩阵。假设你有 \(n\) 个资产，收益率向量 \(\boldsymbol{\mu}\)，协方差矩阵 \(\boldsymbol{\Sigma}\)，无风险利率 \(r\)。多资产凯利的最优权重向量：

这个公式和均值方差优化（Markowitz）有直接关系。Markowitz 的切线组合（最大夏普比率组合）的权重正比于 \(\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} - r \cdot \mathbf{1})\)，但要归一化到目标风险水平。凯利组合就是切线组合不做归一化的版本，相当于"用多少杠杆就用多少杠杆"。

实操中不会直接用这个公式，因为 \(\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\) 在高维度下极不稳定（条件数大，小扰动导致权重剧烈变化）。常见做法：

1. 用 shrinkage estimator（如 Ledoit-Wolf）修正协方差矩阵
2. 在权重上加约束（如单资产权重不超过 20%）
3. 乘以分数凯利（如 1/3）来降低整体杠杆

如果你在做因子组合的仓位分配，多资产凯利提供了一个理论框架：每个因子的权重应该正比于它的超额收益除以它对组合方差的贡献。

import numpy as np

def multi_asset_kelly(mu, cov, r, fraction=0.5):
    """
    多资产凯利权重
    mu: (n,) 各资产预期年化收益率
    cov: (n, n) 收益率协方差矩阵
    r: 无风险利率
    fraction: 凯利分数
    """
    excess = mu - r
    cov_inv = np.linalg.inv(cov)
    kelly_weights = cov_inv @ excess * fraction
    return kelly_weights

# 示例：3个资产
mu = np.array([0.12, 0.08, 0.15])   # 年化收益
sigma = np.array([0.20, 0.15, 0.25]) # 年化波动率
corr = np.array([
    [1.0, 0.3, 0.5],
    [0.3, 1.0, 0.2],
    [0.5, 0.2, 1.0]
])
cov = np.outer(sigma, sigma) * corr
r = 0.05

weights = multi_asset_kelly(mu, cov, r, fraction=0.5)
print("半凯利权重:", np.round(weights, 3))
print("总杠杆:", round(np.sum(np.abs(weights)), 2))

输出：

半凯利权重: [0.441 0.294 0.588]
总杠杆: 1.32

资产 3（超额收益 10%，波动率 25%）获得最高权重 0.588，尽管它波动率最大，但超额收益也最高。资产 2（超额收益 3%，波动率 15%）权重最低。总杠杆 1.32 倍，比单资产凯利温和得多，因为资产间的相关性分散了风险（协方差矩阵求逆隐式地考虑了分散化效应）。

实操注意事项

参数估计误差是最大敌人。 凯利公式假设你知道真实的 \(\mu\) 和 \(\sigma\)。现实中你只有样本估计。\(\mu\) 的估计尤其不靠谱：250 个交易日的样本，\(\mu\) 的标准误差约等于 \(\sigma / \sqrt{250} \approx \sigma / 16\)。年化波动率 20% 的策略，\(\mu\) 的标准误差就是 1.25%。如果你估计的 \(\mu = 15\%\)，真实值可能在 12-18% 之间。代入凯利公式，最优仓位可以差一倍。

这和回测陷阱直接相关。如果你在回测中过拟合了参数，\(\mu\) 被高估，凯利公式就会给出过高的仓位，实盘直接被打爆。

永远不要超过凯利仓位。 凯利仓位是增长率为零的边界：在全凯利时增长率最大，超过全凯利增长率开始下降，超过 2 倍凯利增长率变成负数（长期亏钱）。Under-bet 只是增长慢一些，over-bet 到一定程度后长期必亏。这是不对称的。

交易成本要从收益里扣。 凯利公式假设无摩擦。如果策略需要频繁调仓，交易成本（佣金、滑点、市场冲击）会吃掉一部分 \(\mu\)。用 \(\mu_{\text{net}} = \mu - \text{交易成本}\) 代入凯利，仓位会变小。这个调整在高频策略里尤其重要。

做空波动率时特别危险。 波动率交易策略里提到过，卖出波动率的收益分布是负偏的（大多数时候小赚，偶尔巨亏）。凯利公式在正态假设下工作最好，对负偏分布会系统性高估最优仓位。卖 VIX 期货的策略，凯利仓位按正态算是一回事，按真实的肥尾分布算又是另一回事。这也是 2018 年 2 月做空波动率基金爆仓的底层原因之一。

凯利是上限，不是目标。 实操中大多数量化基金用 1/4 到 1/2 凯利。牺牲一部分增长速度换取回撤可控和参数鲁棒性。如果你不确定用多少，半凯利是一个合理的起点。

如果你对量化交易的其他基础指标感兴趣，可以参考量化投资常用指标大全。