一只股票涨了 20%，这 20% 里有多少是因为大盘整体在涨，多少是因为它是小盘股，多少是因为它便宜？Fama-French 因子模型就是用来回答这个问题的工具。它把股票收益拆解成几个可解释的"因子"，是量化选股的基础框架之一。这篇文章从最基础的 CAPM 讲起，一步步推进到三因子和五因子模型，最后用 Python 跑一遍因子回归。

CAPM：一个因子的世界

在 Fama-French 之前，金融学用 CAPM（资本资产定价模型） 解释股票收益。CAPM 的核心公式：

$$ E(R_i) = R_f + \beta_i (R_m - R_f) $$

翻译成人话：一只股票的预期收益 = 无风险利率 + 这只股票对市场的敏感度（β）× 市场风险溢价。

β 大于 1 的股票比大盘波动更剧烈，承担了更多风险，所以预期收益更高。β 小于 1 的反之。CAPM 的世界观很简洁：股票收益的差异只由一个东西决定，就是它对整体市场的暴露程度。

问题出在哪？实际数据不买账。

1981 年 Banz 发现，小市值股票的长期收益率显著高于大市值股票，超出 CAPM 预测的部分用 β 解释不了。1992 年 Fama 和 French 又发现，高账面市值比（B/M）的股票（也就是市场觉得"便宜"的股票）长期跑赢低 B/M 的"贵"股票。这两个现象被称为规模溢价和价值溢价，是 CAPM 的两大"异象"。

一个因子解释不了的东西，那就加因子。

三因子模型：规模和价值

1993 年，Fama 和 French 在 CAPM 的基础上加了两个因子，提出三因子模型：

$$ R_i - R_f = \alpha_i + \beta_1 (R_m - R_f) + \beta_2 \cdot \text{SMB} + \beta_3 \cdot \text{HML} + \varepsilon_i $$

三个因子分别是：

MKT（市场因子），就是 CAPM 里的 \(R_m - R_f\)。大盘涨 1%，如果你的 \(\beta_1 = 1.2\)，这个因子贡献 1.2% 的收益。

SMB（Small Minus Big，规模因子）。把所有股票按市值分成两组，小盘股组合的收益减去大盘股组合的收益。如果一只股票的 \(\beta_2\) 是正的，说明它的表现和小盘股同步，吃到了规模溢价。

HML（High Minus Low，价值因子）。把所有股票按账面市值比（B/M）分成两组，高 B/M（便宜）股票的收益减去低 B/M（贵）股票的收益。\(\beta_3\) 为正说明这只股票有价值股特征。

公式左边的 \(\alpha_i\) 是关键：它代表三个因子都解释不了的"超额收益"。如果一个基金经理的 α 显著为正，说明他确实有选股能力，赚的不只是承担市场、规模、价值三种风险带来的补偿。反过来说，很多看上去收益不错的基金，拆开一看 α 接近零，收益全是因子暴露带来的，换个 ETF 组合就能近似复制。

因子怎么构造

Fama 和 French 的原始构造方法：每年 6 月底，把所有股票按市值中位数分成大（Big）和小（Small）两组；同时按账面市值比的 30%/70% 分位数分成高（High）、中（Medium）、低（Low）三组。2 × 3 = 6 个组合。

  • SMB = （三个小盘组合的平均收益）-（三个大盘组合的平均收益）
  • HML = （两个高 B/M 组合的平均收益）-（两个低 B/M 组合的平均收益）

这种做多一边、做空另一边的构造方式叫多空对冲组合（long-short portfolio）。因子收益代表的是一种风格溢价，和市场整体涨跌无关。

五因子模型：盈利和投资

三因子模型解释了规模和价值效应，但还有些"异象"它搞不定。两个盈利能力差不多、市值也差不多的股票，为什么长期收益率差很多？Novy-Marx 在 2013 年发现盈利能力（gross profitability）可以预测股票收益。Fama 和 French 在 2015 年的论文里把盈利和投资两个维度加进来，扩展成五因子模型：

$$ R_i - R_f = \alpha_i + \beta_1 (R_m - R_f) + \beta_2 \cdot \text{SMB} + \beta_3 \cdot \text{HML} + \beta_4 \cdot \text{RMW} + \beta_5 \cdot \text{CMA} + \varepsilon_i $$

新增的两个因子：

RMW（Robust Minus Weak，盈利因子）。盈利能力强（高营业利润率）的公司组合收益减去盈利能力弱的公司组合收益。直觉上好理解：赚钱能力强的公司，股票长期表现更好。

CMA（Conservative Minus Aggressive，投资因子）。投资保守（资产增长率低）的公司收益减去投资激进（大量扩张）的公司收益。听上去反直觉，但数据显示：疯狂扩张的公司往往过度投资，回报率下降，股价长期跑输那些稳健经营的公司。

五因子模型有一个有趣的副作用：加了 RMW 和 CMA 之后，HML（价值因子）的解释力明显变弱了。Fama 和 French 自己也在论文里承认，五因子模型中 HML 几乎是多余的，因为价值效应可以被盈利和投资两个因子大部分解释掉。这引发了学术界不小的争论：价值投资到底是一个独立的风险溢价，还只是盈利能力和投资风格的副产品？

Fama-French 五因子累计收益模拟对比

Python 因子回归实战

理论讲完，下面用 Python 跑一遍。我们模拟一只"小盘价值基金"的月度收益，然后分别用三因子和五因子模型做回归，看各因子的系数和 α。

实际操作中，因子数据可以从 Kenneth French 的 Data Library 免费下载。这里为了代码自包含，用合成数据模拟。

import numpy as np
from numpy.linalg import lstsq

def run_factor_regression():
    np.random.seed(42)
    n = 240  # 20 years of monthly data

    # Simulate factor returns (monthly)
    mkt = np.random.normal(0.007, 0.045, n)
    smb = np.random.normal(0.002, 0.032, n)
    hml = np.random.normal(0.003, 0.028, n)
    rmw = np.random.normal(0.0025, 0.022, n)
    cma = np.random.normal(0.002, 0.020, n)

    # Simulate fund returns: small-cap value fund
    # True betas: MKT=1.05, SMB=0.45, HML=0.38, RMW=0.18, CMA=0.12
    # True alpha: 0.001 (0.1% per month)
    alpha_true = 0.001
    fund = (alpha_true + 1.05 * mkt + 0.45 * smb + 0.38 * hml
            + 0.18 * rmw + 0.12 * cma + np.random.normal(0, 0.012, n))

    # --- Three-factor regression ---
    X3 = np.column_stack([np.ones(n), mkt, smb, hml])
    beta3, residuals3, _, _ = lstsq(X3, fund, rcond=None)
    pred3 = X3 @ beta3
    ss_res3 = np.sum((fund - pred3) ** 2)
    ss_tot = np.sum((fund - np.mean(fund)) ** 2)
    r2_3 = 1 - ss_res3 / ss_tot

    # Standard errors
    mse3 = ss_res3 / (n - 4)
    se3 = np.sqrt(np.diag(mse3 * np.linalg.inv(X3.T @ X3)))
    t3 = beta3 / se3

    print("=== Three-Factor Model ===")
    print(f"  Alpha:  {beta3[0]*100:.3f}% /month  (t={t3[0]:.2f})")
    print(f"  MKT:    {beta3[1]:.3f}  (t={t3[1]:.2f})")
    print(f"  SMB:    {beta3[2]:.3f}  (t={t3[2]:.2f})")
    print(f"  HML:    {beta3[3]:.3f}  (t={t3[3]:.2f})")
    print(f"  R²:     {r2_3:.4f}")

    # --- Five-factor regression ---
    X5 = np.column_stack([np.ones(n), mkt, smb, hml, rmw, cma])
    beta5, _, _, _ = lstsq(X5, fund, rcond=None)
    pred5 = X5 @ beta5
    ss_res5 = np.sum((fund - pred5) ** 2)
    r2_5 = 1 - ss_res5 / ss_tot

    mse5 = ss_res5 / (n - 6)
    se5 = np.sqrt(np.diag(mse5 * np.linalg.inv(X5.T @ X5)))
    t5 = beta5 / se5

    print("\n=== Five-Factor Model ===")
    print(f"  Alpha:  {beta5[0]*100:.3f}% /month  (t={t5[0]:.2f})")
    print(f"  MKT:    {beta5[1]:.3f}  (t={t5[1]:.2f})")
    print(f"  SMB:    {beta5[2]:.3f}  (t={t5[2]:.2f})")
    print(f"  HML:    {beta5[3]:.3f}  (t={t5[3]:.2f})")
    print(f"  RMW:    {beta5[4]:.3f}  (t={t5[4]:.2f})")
    print(f"  CMA:    {beta5[5]:.3f}  (t={t5[5]:.2f})")
    print(f"  R²:     {r2_5:.4f}")
    print(f"\n  R² improvement: {r2_3:.4f} -> {r2_5:.4f} (+{(r2_5-r2_3)*100:.2f}%)")

run_factor_regression()

运行结果：

=== Three-Factor Model ===
  Alpha:  0.302% /month  (t=3.81)
  MKT:    1.035  (t=57.98)
  SMB:    0.455  (t=18.49)
  HML:    0.422  (t=15.20)
  R²:     0.9416

=== Five-Factor Model ===
  Alpha:  0.213% /month  (t=2.64)
  MKT:    1.043  (t=59.28)
  SMB:    0.450  (t=18.67)
  HML:    0.420  (t=15.47)
  RMW:    0.121  (t=3.27)
  CMA:    0.055  (t=1.49)
  R²:     0.9448

  R² improvement: 0.9416 -> 0.9448 (+0.32%)

几个值得注意的结果：

MKT 系数 1.04，接近我们设定的真实值 1.05。t 值接近 60，极其显著。这只"基金"基本跟着大盘走。

SMB 系数 0.45，显著为正，说明这只基金确实偏小盘。如果你买了一只号称"大盘蓝筹"的基金，跑回归发现 SMB 显著为正，那基金经理实际上是在买小盘股，和宣传不符。

三因子的 α 是 0.302%/月，t 值 3.81，统计上显著。换到五因子模型后 α 降到 0.213%，t 值 2.64。原来三因子里"解释不了"的超额收益，有一部分其实是 RMW 和 CMA 因子的暴露。这就是因子模型的核心用途：剥掉因子暴露后，看真正的 α 还剩多少。

R² 从 0.9416 升到 0.9448。五因子比三因子多解释了 0.32% 的收益方差。提升不大，但 RMW 的 t 值 3.27 是显著的，说明盈利因子确实有独立的解释力。CMA 的 t 值 1.49 不显著，在这组数据里投资因子的效果偏弱。

因子回归系数对比：三因子 vs 五因子模型

因子模型的局限

因子模型是量化选股的基础框架，但不是万能的。

因子溢价会消失。小盘股溢价是三因子模型的核心卖点之一，但 1980 年代之后美股小盘股溢价大幅衰减，有些年份甚至为负。一种解释是：学术论文发表后大量资金涌入小盘股策略，溢价被套利掉了。因子拥挤是所有因子策略面临的长期威胁。

换个市场可能不灵。Fama-French 因子是在美股上发现的。搬到 A 股，规模效应（小盘股跑赢）依然很强，但价值效应（低估值跑赢）长期失效。A 股的"便宜"股票很多是基本面恶化的垃圾股，买入持有不但不赚钱还会亏。直接照搬美股因子模型到其他市场是危险的。

数据挖掘的重灾区。学术界已经"发现"了几百个所谓的因子（有人统计超过 400 个）。很多因子只在特定的时间段和特定的市场里有效，换个样本就消失了。Harvey, Liu & Zhu (2016) 的论文指出，用传统的 t > 2 标准，大量"显著"的因子其实是多重检验下的统计幻觉。

线性假设。因子模型假设收益和因子之间是线性关系。现实中，因子的效果可能是非线性的：小盘股溢价可能集中在最小的 10% 股票上，而不是"越小越好"的线性递增。

因子模型和量化选股

因子模型不只是一个分析工具，它是量化选股策略的理论地基。

最直接的应用：因子选股。如果你相信价值因子长期有效，就系统性地买入高 B/M 的股票、卖出低 B/M 的股票。如果你同时相信多个因子，就把它们组合起来，构建多因子评分模型。A 股量化私募大量使用的"多因子模型"，底层逻辑就是这个。

因子归因。基金经理说自己年化 25%，因子模型可以告诉你：其中 18% 是市场涨的，4% 是小盘股溢价，2% 是价值溢价，真正的 α 只有 1%。你愿意为 1% 的 α 付 2% 的管理费吗？这就是因子归因的实际价值。

因子中性。有些策略不想承担任何因子风险，只赚纯 α。方法是在构建组合时，约束对每个因子的暴露为零。比如做多一组股票的同时，做空等量的、因子暴露相反的股票，让组合的 SMB、HML 等系数都接近零。剩下的收益就是和因子无关的纯选股能力。

因子模型的数学不复杂，本质就是多元线性回归。真正难的是：选哪些因子，怎么处理因子之间的相关性，因子权重怎么动态调整，以及怎么避免在历史数据上过度拟合。